Produit d'un vecteur par un réel

Définition

Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un réel non nul.

Le produit du vecteur \(\overrightarrow{u}\)  par le réel \(k\) est le vecteur, noté \(k \times \overrightarrow{u}\) , caractérisé par :

• le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\) a la même direction que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) ;
  
• si \(k > 0\), alors le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\) a le même sens que le vecteur \(\overrightarrow{u}\)  et si \(k > 0\) alors le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\) a le sens contraire du vecteur \(\overrightarrow{u}\) ;
  
• le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\) a pour norme \(\mid k \mid \times || \overrightarrow{u}||\).
  

Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur. Si \(k=0\), alors \(0 \times \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\) .
Soit \(k\) un réel. Si \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\), alors \(k \times \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}\).

Remarque

Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur. On a \(-1\times\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}\).

Exemple

On considère un vecteur \(\overrightarrow{u}\).
Voici les vecteurs \(\dfrac{1}{4} \times \overrightarrow{u}\) , \(3 \times \overrightarrow{u}\),  \(-\overrightarrow{u}\) et \(-\dfrac{1}{2} \times \overrightarrow{u}\).